原题

设$O$、$H$分别是$\triangle ABC$的外心和垂心，点$A$关于直线$OH$的对称点是$P$，点$P$和点$A$不在直线$BC$的同侧，$E$、$F$分别在$AB$和$AC$上，满足$BE=PC$，$CF=PB$，直线$AP$、$OH$相交与点$K$，证明：$EK\perp FK$.

解答

第一步

先证$P$关于$BC$中点$D$的对称点$P’$在$OH$上。
联结$AD$，交$OH$于$G$，$D$在$AP$上的投影为$D’$

由欧拉线的性质，$AD$、$OH$的交点$G$为$\triangle ABC$的重心，结合$OH\perp AP$、$DD’\perp AP$，因此$\frac{AK}{KD’}=\frac{AG}{GD}=2$，于是$KD’=PD’$，得到$K$、$P$、$P’$到$D$的距离相同，所以$\angle PKP’=90^{\circ}$，即$P’$在$OH$上。

第二步

证明$\angle EP’F=90^{\circ}$。导角即可。

$$\begin{aligned}\angle EP’F&=360^{\circ}-\angle EP’B-\angle FP’C-\angle BP’C\\
&=360^{\circ}-\frac 1 2(360^{\circ}-\angle EBP’-\angle FCP’)-\angle BPC\\
&=360^{\circ}-\frac 1 2(180^{\circ}-2\angle A)-(180^{\circ}-\angle A)\\
&=90^{\circ}
\end{aligned}$$

第三步

证明$EKP’F$四点共圆。
取$EF$、$EC$中点$G$、$M$。在$AP$上取$J$使$PJ=2DG$。
可知$MQ\overset{\parallel}{=}\frac 1 2FC$，$MD\overset{\parallel}{=}\frac 1 2EB$，故$MQ=\frac 1 2BP$，$MD=\frac 1 2CP$，且$EB$，$FC$夹角为$\angle A$，与$\angle BPC$互补，得到$\triangle QMD \sim\triangle BPC$。

经过导角可知$QD\parallel AP$，从而$Q$为$P’J$中点。于是$EP’FJ$为平行四边形，进而为矩形，$EP’FJ$四点共圆。结合$\angle JOP’=90^{\circ}=\angle JFP’$，$EKP’FJ$五点共圆，$Q$为圆心，故$\angle EP’F=90^{\circ}$。$\square$